Câu 3:
a: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
b: AMHN là hình chữ nhật
=>HM//AN
=>HK//AC
Xét ΔIHK và ΔICA có
\(\hat{HIK}=\hat{CIA}\) (hai góc đối đỉnh)
IH=IC
\(\hat{ICA}=\hat{IHK}\) (hai góc so le trong, CA//HK)
Do đó: ΔIHK=ΔICA
=>IK=IA
=>I là trung điểm của AK
Xét tứ giác AHKC có
I là trung điểm chung của AK và HC
=>AHKC là hình bình hành
c: AMHN là hình chữ nhật
=>AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AH và MN
Xét ΔAHC có
AI,CO là các đường trung tuyến
AI cắt CO tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔAHC
=>\(AG=\frac23AI=\frac23\cdot\frac12\cdot AK=\frac13AK\)
=>AK=3AG
Bài 2:
a: Xét tứ giác APHQ có \(\hat{APH}=\hat{AQH}=\hat{PAQ}=90^0\)
nên APHQ là hình chữ nhật
b: ΔCQH vuông tại Q
mà QK là đường trung tuyến
nên KQ=KH=KC
Xét ΔKQH có KQ=KH
nên ΔKQH cân tại K
APHQ là hình chữ nhật
=>AH cắt PQ tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AH và PQ
APHQ là hình chữ nhật
=>AH=PQ
mà \(OA=OH=\frac{AH}{2};OP=OQ=\frac{PQ}{2}\)
nên OA=OH=OP=OQ
Ta có: OQ=OH
=>O nằm trên đường trung trực của QH(1)
KQ=KH
=>K nằm trên đường trung trực của QH(2)
Từ (1),(2) suy ra OK là đường trung trực của QH
c: Xét ΔHAC có \(\frac{HK}{HC}=\frac{HO}{HA}\left(=\frac12\right)\)
nên OK//AC
=>AOKC là hình thang
Hình thang AOKC trở thành hình thang cân thì \(\hat{KCA}=\hat{OAC}\)
=>\(\hat{HAC}=\hat{HCA}\)
=>ΔHAC vuông cân tại H
=>\(\hat{ACB}=45^0\)
Câu 1: Sửa đề: Chứng minh AECF là hình thoi
ΔDAC vuông tại A
mà AF là đường trung tuyến
nên FA=FC
Ta có: \(EA=EB=\frac{AB}{2}\)
\(DF=FC=\frac{DC}{2}\)
mà AB=CD
nên EA=EB=DF=FC
Xét tứ giác AECF có
AE//CF
AE=CF
Do đó: AECF là hình bình hành
Hình bình hành AECF có AF=FC
nên AECF là hình thoi
