Giúp em với, được câu nào hay câu đố ạ, em cảm ơn
Chứng minh :
a) (a^2 + b^2)/2 lớn hơn hoặc bằng [(a+b)/2]^2
b) (a^2+b^2+c^2)/3 lớn hơn hoặc bằng [(a+b+c)/3]^2
c) a^2 /b^2 + b^2/a^2 + 4 lớn hơn hoặc bằng 3.(a/b+b/a) với a, b khác 0
* mọi người chuyển lời thành phân số giúp em với, tại máy em k gõ đc phân số. Em cảm ơn
c)\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4\ge3\cdot\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
Thế : \(\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-a\right)^2\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4+4a^2b^2+b^4}{a^2b^2}\ge\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4\ge\frac{3a}{b}+\frac{3b}{a}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4>=3\cdot\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
a) \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(\frac{a+b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(\text{a}+b\right)^2\)
Dấu ''='' chỉ xảy ra khi a=b=1 (đpcm)
b) \(\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\right)\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
Chứng minh giống câu a) thôi
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\left(a+b+c\right)^2\)
Dấu ''='' chỉ xảy ra khi a=b=c=1 ( đpcm)
bdt <=> a^2/b^2+b^2/a^2-3(a/b+b/a)+4 >/ 0 (1)
Đặt x=a/b+b/a
=>|x|=|a/b|+|b/a| >/ 2 => x>/2 hoặc x</-2
a^2/b^2+b^2/a^2=x^2-2
(1) <=> x^2-3x+2 >/ 0 <=>(x-1)(x-2) >/ 0 <=> x>/2 hoặc x</1 (nằm trong miền nghiệm đag xét) => x^2-3x+2 >/ 0 là bđt đúng
Vậy bđt cần c/m là đúng
