(Giúp e với Thứ bảy e phải KT1 tiết) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm của BD và CE
a. Chứng minh AE. AB = AD. AC
b. Tia AH cắt BC tại F. Chứng minh AF vuông góc BC và tứ giác BEHF nội tiếp
C. Chứng minh tứ giác OFED nội tiếp
Lời giải:
a)
Xét tam giác $ABD$ và $ACE$ có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung $ED$)
\(\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle ACE(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\Rightarrow AB.AE=AD.AC\) (đpcm)
b)
Ta có \(\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow BD\perp AC; CE\perp AB\)
Xét tam giác $ABC$ có $BD\perp AC, CE\perp AB$.
Mà $BD$ giao $CE$ tại $H$ nên $H$ chính là trực tâm của tam giác $ABC$
\(AH\perp BC\) hay $AF\perp BC$.
Từ $H$ là trực tâm của $ABC$ ta suy ra \(\widehat{HEB}=\widehat{HFB}=90^0\)
Tứ giác $BEHF$ có tổng 2 góc đối nhau:
\(\widehat{HEB}+\widehat{HFB}=90^0+90^0=180^0\) nên là tứ giác nội tiếp.
c)
Vì $BEHF$ là tứ giác nội tiếp nên:
\(\widehat{HEF}=\widehat{HBF}=\widehat{DBC}\)
\(\widehat{DBC}=\widehat{DEC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung $DC$)
\(\Rightarrow \widehat{HEF}=\widehat{DEC}\)
\(\Rightarrow \widehat{DEF}=\widehat{HEF}+\widehat{DEC}=2\widehat{DEC}=\widehat{DOC}\) (góc nội tiếp chắn một cung thì bằng một nửa góc ở tâm chắn cung đó)
\(\Rightarrow \widehat{DEF}=180^0-\widehat{DOF}\)
\(\Rightarrow \widehat{DEF}+\widehat{DOF}=180^0\Rightarrow ODEF\) là tứ giác nội tiếp.
