Question

Giải pt nghiệm nguyên\(x^2+\left(x+1\right)^2=y^4+\left(y+1\right)^4\)

Answer 1

khai triển và rút gọn 2 vế ta được x(x+1)=y⁴+2y³+3y²+2y

<=> x(x+1)=y²(y+1)²+2y(y+1)

<=> x²+x+1=(y²+y+1)² (1)

nếu x>0 thì từ x²<x²+x+1<(x+1)² => (1) không có nghiệm nguyên x>0

nếu x=0 hoặc x=-1 thì từ (1) => y²+y+1 = \(\pm\)1 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\y=-1\end{cases}}\)

ta có nghiệm (x;y)=(0;0);(0;-1);(-1;0);(-1;-1)

nếu x<-1 thì từ (x+1)²<x²+x+1<x²

=> (1) không có nghiệm nguyên x<-1

tóm lại phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên (x;y)=(0;0);(0;-1);(-1;0);(-1;-1)