Question

giải phương trình nghiệm nguyên:

\(7\left(x^2+xy+y^2\right)=39\left(x+y\right)\)

Answer 1

7(x² + xy + y²) = 39(x + y)

<=> 7.[(x+y)^2 - xy] = 39(x+y)

<=>7(x+y)^2 - 39(x+y) = 7xy

<=> 28(x+y)^2 - 156(x+y) = 7.4xy

ta có: (x+y)^2 >=4xy

=> 28(x+y)^2 - 156(x+y) = 7.4xy <= 7(x+y)^2

đặt t = x+y =>

21t^2 -156t <=0 <=> t(21t -156)<=0

=> 0<= t <= 156/21 => 0<= t<= 7

ta có : 7t^2 - 39t = 7xy => t^2 - 39t/7 = xy

do t nguyên; 7xy nguyên => 39t/7 nguyên => t chia hết cho 7 => t = 0 hoặc t =7

*t = 0 => x+y = 0 => x = -y => 7(x² + xy + y²) = 39(x + y) <=> 7x^2 = 0 => x=-y =0

*t = 7 => x+y = 7 => t^2 - 39t/7 = xy <=> 49 -39 = xy <=> 10 = xy => x =2 và y =5 hoặc ngược lại

vậy tóm lại nghiệm của hệ là :.(x;y) = {(0;0) ;(2;5);(5;2)}