Question

GIẢI HỘ E VỚI.

Trên mặt phẳng Oxy cho (P):y=_x² và (f):y=(m-1)x+2

.Cmr (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb M và N.Tìm m để MN có độ dài ngắn nhất

Answer 1

Hoành độ giao điểm của ( p) và (f) là nghiệm phương trình: 

x^2 = (m-1) x + 2 

<=> x^2 - ( m - 1) x - 2 = 0 (1) 

Vì \(\frac{c}{a}=-2< 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt 

=> ( P) cắt (f) tại hai điểm M; N phân biệt với mọi m 

g/s: M( a; (m-1) a + 2 ) ; N ( b; (m-1) b + 2 ) 

=> MN= \(\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left(m-1\right)^2\left(a-b\right)^2}\)

MN nhỏ nhất 

<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(m-1\right)^2\left(a-b\right)^2\) nhỏ nhất 

Ta có: \(\left(a-b\right)^2+\left(m-1\right)^2\left(a-b\right)^2=\left(a-b\right)^2\left(1+\left(m-1\right)^2\right)\)

= \(\left[\left(a+b\right)^2-4ab\right]\left(1+\left(m-1\right)^2\right)\)

= \(\left[\left(m-1\right)^2+8\right]\left(1+\left(m-1\right)^2\right)\)

\(\ge8.1=8\)

Dấu "=" xảy ra <=> m = 1 

min MN = \(\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left(m-1\right)^2\left(a-b\right)^2}\)= 2\(\sqrt{2}\)