Question

giải hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2=y+\frac{1}{y}\\2y^2=x+\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Lời giải:

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2y=y^2+1(1)\\ 2xy^2=x^2+1(2)\end{matrix}\right.\)

Lấy $(1)-(2)$ theo vế suy ra:

$2xy(x-y)=y^2-x^2=-(x-y)(x+y)$

$\Leftrightarrow (x-y)(2xy+x+y)=0$

Xét các TH sau:

Nếu $x-y=0\Leftrightarrow x=y$. Thay vào $(1)$:

$2x^3=x^2+1\Leftrightarrow 2x^3-x^2-1=0$

$\Leftrightarrow 2x^2(x-1)+(x-1)(x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(2x^2+x+1)=0$

Dễ thấy $2x^2+x+1>0$ nên $x-1=0\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1$ (thỏa mãn)

Nếu $2xy+x+y=0\Leftrightarrow 2xy=-(x+y)$

Lấy $(1)+(2)\Rightarrow 2xy(x+y)=x^2+y^2+2$

$\Leftrightarrow -(x+y)^2=x^2+y^2+2$ (vô lý vì $VT\leq 0$ còn $VP>0$)

Vậy.......