Violympic toán 9

minh hy

giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)=10\\\left(x+y\right)\left(xy-1\right)=3\end{matrix}\right.\)

b, cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=1 . tìm GTNN của biểu thức A = \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
8 tháng 7 2018 lúc 13:45

Câu a :

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)=10\\\left(x+y\right)\left(xy-1\right)=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2+x^2+y^2=9\\\left(x+y\right)\left(xy-1\right)=3\end{matrix}\right.\)

Đặt \(x+y=S\) ; \(xy=P\) , phương trình trở thành :

\(\left\{{}\begin{matrix}S^2-2P+P^2=9\\S\left(P-1\right)=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\dfrac{3}{P-1}\right)^2-2P+P^2=9\\S=\dfrac{3}{P-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}P=0\\P=-2\\P=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}S=-3\\S=-1\\S=3\end{matrix}\right.\)

Với \(S=-3\)\(P=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-3\\xy=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Với \(S=-1\)\(P=-2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-1\\xy=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Với \(S=3\)\(P=2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có các cặp nghiệm là : \(\left(x;y\right)=\left(0;-3\right)\) ; \(\left(x;y\right)=\left(-3;0\right)\) ; \(\left(x;y\right)=\left(1;-2\right)\) ; \(\left(x;y\right)=\left(-2;1\right)\) ; \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\) ; \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

Wish you study well !!

Bình luận (0)
Phùng Khánh Linh
8 tháng 7 2018 lúc 16:47

Làm nốt b :)

Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta có :

\(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}\text{≥}\dfrac{\left(1+2\right)^2}{x+y}=\dfrac{9}{1}=9\)

\(A_{MIN}=9\)\(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Bình luận (1)

Các câu hỏi tương tự
Trần Ích Bách
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết
Kim Trí Ngân
Xem chi tiết
Miko
Xem chi tiết
Trúc Nguyễn
Xem chi tiết
Trần Việt Khoa
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Trần Diệp Nhi
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết