Question

giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}xy\left(x+y\right)=2\\x^3+y^3+x^3y^3+7\left(x+1\right)\left(y+1\right)=31\end{cases}}\)

Answer 1

Đặt S = x + y 

P = \(x\cdot y\) 

\(\hept{\begin{cases}PS=2\\\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+P^3+7\left(xy+x+y+1\right)=31\end{cases}}\) 

\(\hept{\begin{cases}PS=2\\S^3-3PS+P^3+7+7S+7P=31\end{cases}}\) 

\(\hept{\begin{cases}PS=2\\S^3-6+P^3+7+7S+7P=31\end{cases}}\) 

\(\hept{\begin{cases}P=\frac{2}{S}\\S^3+\left(\frac{2}{S}\right)^3+7S+7\cdot\frac{2}{S}=30\end{cases}}\)  Giải vế dưới trước cho gọn 

\(S^3+\frac{8}{S^3}+7S+\frac{14}{S}=30\) 

\(S^6+8+7S^4+14S^2-30S^3=0\) 

\(S^6-2S^5+2S^5-4S^4+11S^4-22S^3-8S^3+16S^2-2S^2+4S-4S+8=0\) 

\(\left(S-2\right)\left(S^5+2S^4+11S^3-8S^2-2S-4\right)=0\) 

\(\left(S-2\right)\left(S^5-S^4+3S^4-3S^3+14S^3-14S^2+6S^2-6S+4S-4\right)=0\) 

\(\left(S-2\right)\left(S-1\right)\left(S^4+3S^3+14S^2+6S+4\right)=0\) 

\(\orbr{\begin{cases}S-2=0\\S-1=0\end{cases}}\) 

\(\orbr{\begin{cases}S=2\\S=1\end{cases}}\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}P=\frac{2}{S}=\frac{2}{2}=1\\P=\frac{2}{S}=\frac{2}{1}=2\end{cases}}\) 

TH1 : 

\(\hept{\begin{cases}S=x+y=2\\P=x\cdot y=1\end{cases}}\) 

\(X^2-SX+P=0\) 

\(X^2-2X+1=0\) 

\(X=1\) 

Vậy x = y = 1 

TH2 : 

\(\hept{\begin{cases}S=x+y=1\\P=x\cdot y=2\end{cases}}\) 

\(X^2-SX+P=0\) 

\(X^2-X+2=0\) ( phương trình vô nghiệm ) 

Vậy x = y = 1 là nghiệm của hệ phương trình 

Answer 2

Do:   \(xy\left(x+y\right)=2\left(gt\right)\)

=>   \(3xy\left(x+y\right)=6\)

=>   \(3xy\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)=6\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)

=>   \(3\left(x+y\right)\left(xy+y\right)\left(xy+x\right)=6\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)                                            (3)

pt (2)   <=>   \(x^3+y^3+x^3y^3+6\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(x+1\right)\left(y+1\right)=31\)     (4)

TỪ (3) THAY VÀO (4) TA ĐƯỢC:   

=>   \(x^3+y^3+x^3y^3+3\left(x+y\right)\left(xy+x\right)\left(xy+y\right)+\left(x+1\right)\left(y+1\right)=31\)

<=>   \(\left(x+y+xy\right)^3+x+y+xy+1=31\)

<=>   \(\left(xy+x+y\right)^3+xy+x+y=30\)

<=>   \(xy+x+y=3\)

CÓ:   \(xy\left(x+y\right)=2\)

ĐẶT:   \(\hept{\begin{cases}xy=a\\x+y=b\end{cases}}\)

=> TA ĐƯỢC:   \(\hept{\begin{cases}a+b=3\\ab=2\end{cases}}\)

TỪ ĐÂY TA DỄ DÀNG GIẢI ĐƯỢC    \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)       HOẶC    \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}}\)

NHƯNG DO:   \(b^2\ge4a\left(đk\right)\)

=>    \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}}\)     là nghiệm duy nhất

=>    \(\hept{\begin{cases}xy=1\\x+y=2\end{cases}}\)

=>      \(x=y=1\)

VẬY TẬP HỢP NGHIỆM CỦA HPT LÀ:     \(x=y=1\)