Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

cấn thị mai anh

giải các phương trình

1) \(\sqrt{4x-20}\) +3\(\sqrt{\dfrac{x-5}{9}}\) \(-\dfrac{1}{3}\sqrt{9x-45}=6\)

2)\(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=5\)

3) \(x^2-6x+\sqrt{x^2-6x+7}=5\)

4)\(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=4\)

5)\(\sqrt{x^2-\dfrac{1}{4}+\sqrt{x^2+x+\dfrac{1}{4}}}=\dfrac{1}{2}\left(2x^3+x^2+2x+1\right)\)

6)\(\sqrt{3x^2+6x+12}+\sqrt{5x^4-10x^2+30}=8\)

7)\(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2\)

Akai Haruma
14 tháng 10 2018 lúc 9:53

1)

ĐK: \(x\geq 5\)

PT \(\Leftrightarrow \sqrt{4(x-5)}+3\sqrt{\frac{x-5}{9}}-\frac{1}{3}\sqrt{9(x-5)}=6\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{4}.\sqrt{x-5}+3\sqrt{\frac{1}{9}}.\sqrt{x-5}-\frac{1}{3}.\sqrt{9}.\sqrt{x-5}=6\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{x-5}+\sqrt{x-5}-\sqrt{x-5}=6\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{x-5}=6\Rightarrow \sqrt{x-5}=3\Rightarrow x=3^2+5=14\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
14 tháng 10 2018 lúc 9:56

2)

ĐK: \(x\geq -1\)

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=5\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}-2)+(\sqrt{x+6}-3)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+1-2^2}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{x+6-3^2}{\sqrt{x+6}+3}=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{x-3}{\sqrt{x+6}+3}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-3)\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x+6}+3}\right)=0\)

\(\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x+6}+3}>0, \forall x\geq -1\) nên $x-3=0$

\(\Rightarrow x=3\) (thỏa mãn)

Vậy .............

Bình luận (0)
Akai Haruma
14 tháng 10 2018 lúc 10:13

3)

ĐK: \(x^2-6x+7\geq 0\)

Đặt \(\sqrt{x^2-6x+7}=a(a\geq 0)\) \(\Rightarrow x^2-6x=a^2-7\)

PT trở thành: \(a^2-7+a=5\Leftrightarrow a^2+a-12=0\)

\(\Leftrightarrow (a-3)(a+4)=0\Rightarrow a=3\) (do \(a\geq 0)\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^2-6x+7}=3\)

\(\Rightarrow x^2-6x+7=9\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x-2=0\) \(\Rightarrow x=3\pm \sqrt{11}\) (đều thỏa mãn)

Bình luận (0)
Akai Haruma
14 tháng 10 2018 lúc 10:20

4)

ĐK: \(x\geq 1\)

\(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=4\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{(x-1)-6\sqrt{x-1}+9}=6\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-3)^2}=4\)

\(\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}-2|+|\sqrt{x-1}-3|=4(*)\)

TH1: \(\sqrt{x-1}\geq 3\)

\((*)\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-2+\sqrt{x-1}-3=4\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{x-1}=9\Rightarrow \sqrt{x-1}=\frac{9}{2}\Rightarrow x=\frac{85}{4}\) (t/m)

TH2: \(\sqrt{x-1}< 2\)

\((*)\Leftrightarrow 2-\sqrt{x-1}+3-\sqrt{x-1}=4\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{x-1}=1\Rightarrow \sqrt{x-1}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{5}{4}\) (t/m)

TH3: \(2\leq \sqrt{x-1}< 3\)

\((*)\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-2+3-\sqrt{x-1}=4\)

\(\Leftrightarrow 1=4\) (vô lý)

Vậy \(x=\frac{85}{4}\) hoặc \(x=\frac{5}{4}\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
14 tháng 10 2018 lúc 10:28

5)

\(\sqrt{x^2-\frac{1}{4}+\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}(2x^3+x^2+2x+1)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2-\frac{1}{4}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2}}=\frac{1}{2}(x^2+1)(2x+1)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2-\frac{1}{4}+|x+\frac{1}{2}|}=\frac{1}{2}(x^2+1)(2x+1)(*)\)

Vì vế trái của pt luôn không âm nên:

\(\frac{1}{2}(x^2+1)(2x+1)\geq 0\Rightarrow 2x+1\geq 0\Rightarrow x\geq \frac{-1}{2}\)

\(\Rightarrow |x+\frac{1}{2}|=x+\frac{1}{2}\)

Do đó:

\((*)\Leftrightarrow \sqrt{x^2-\frac{1}{4}+x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(x^2+1)(2x+1)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}(x^2+1)(2x+1)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(x+\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{2}(x^2+1)(2x+1)\)

\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x^2+1)(2x+1)\)

\(\Leftrightarrow 2x+1=(x^2+1)(2x+1)\)

\(\Leftrightarrow x^2(2x+1)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (đều thỏa mãn)

Vậy.............

Bình luận (0)
Akai Haruma
14 tháng 10 2018 lúc 10:32

6)

\(\sqrt{3x^2+6x+12}+\sqrt{5x^4-10x^2+30}=8\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3(x^2+2x+1)+9}+\sqrt{5(x^4-x^2+1)+25}=8\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3(x+1)^2+9}+\sqrt{5(x^2-1)^2+25}=8\)

Ta thấy:

\(\sqrt{3(x+1)^2+9}\geq \sqrt{3.0+9}=3\)

\(\sqrt{5(x^2-1)^2+25}\geq \sqrt{5.0+25}=5\)

\(\sqrt{3(x+1)^2+9}+\sqrt{5(x^2-1)^2+25}\geq 8\)

Dấu "=" xảy ra khi \((x+1)^2=(x^2-1)^2=0\Leftrightarrow x=-1\) (t/m)

Vậy..............

Bình luận (0)
Akai Haruma
14 tháng 10 2018 lúc 10:35

7)

Ta có:

\(\sqrt{3x^2+6x+7}=\sqrt{3(x^2+2x+1)+4}=\sqrt{3(x+1)^2+4}\)

\(\geq \sqrt{3.0+4}=2\)

\(\sqrt{5x^2+10x+14}=\sqrt{5(x^2+2x+1)+9}=\sqrt{5(x+1)^2+9}\)

\(\geq \sqrt{5.0+9}=3\)

\(\Rightarrow \sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}\geq 5\)

\(4-2x-x^2=5-(x^2+2x+1)=5-(x+1)^2\leq 5-0=5\)

Do đó:

\(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x2+10x+14}=4-2x-x^2=5\)

\(\Rightarrow x=-1\) (t/m)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Lê Hương Giang
Xem chi tiết
Phạm Thị Thùy Dương
Xem chi tiết
Đoàn Thị Thanh Loan
Xem chi tiết
Quynh Existn
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
Ly Ly
Xem chi tiết
Quynh Existn
Xem chi tiết
Đinh Thuận
Xem chi tiết