1.
ĐKXĐ: ...
Đặt \(log_7\left(6x-5\right)=t\Rightarrow6x-5=7^t\)
Ta được hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}7^{x-1}=6t+1\\7^t=6\left(x-1\right)+1\end{matrix}\right.\)
Trừ vế cho vế: \(\Rightarrow7^{x-1}-7^t=6t-6\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow7^{x-1}+6\left(x-1\right)=7^t+6t\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=7^t+t\Rightarrow f'\left(t\right)>0\)
\(\Rightarrow x-1=t\Rightarrow7^t=6t+1\)
\(\Rightarrow7^t-6t-1=0\)
Nhận thấy \(t=\left\{0;1\right\}\) là 2 nghiệm của pt trên
Xét \(f\left(t\right)=7^t-6t-1\Rightarrow f'\left(t\right)=7^tln7-6=0\)
\(\Rightarrow7^t=\frac{6}{ln7}\Rightarrow t=log_7\left(\frac{6}{ln7}\right)\)
\(\Rightarrow f'\left(t\right)\) có đúng 1 nghiệm nên \(f\left(t\right)=0\) có tối đa 2 nghiệm
Vậy pt đã cho có đúng 2 nghiệm \(t=\left\{0;1\right\}\Rightarrow x=\left\{1;2\right\}\)
2,
ĐKXĐ: ...
Đặt \(log_6x=t\Rightarrow x=6^t\)
\(\Rightarrow log_2\left(6^t+3^t\right)=t\)
\(\Leftrightarrow6^t+3^t=2^t\)
\(\Leftrightarrow3^t+\left(\frac{3}{2}\right)^t-1=0\)
Nhận thấy pt trên có 1 nghiệm \(t=-1\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=3^t+\left(\frac{3}{2}\right)^t-1\)
\(f'\left(t\right)=3^tln3+\left(\frac{3}{2}\right)^t.ln\left(\frac{3}{2}\right)>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(t\right)=0\) có tối đa 1 nghiệm
\(\Rightarrow\) pt có nghiệm duy nhất \(t=-1\) hay \(x=\frac{1}{6}\)
