Question

Giả sử \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2-mx+m-1=0\) . Với giá trị nào của m thì biểu thức \(A=\frac{4x_1x_2+6}{x_1^2+x_2^2+2\left(1+x_1x_2\right)}\) đạt giá trị nhỏ nhất ?

Answer 1

\(\Delta=\left(m-2\right)^2\ge0;\forall m\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(A=\frac{4x_1x_2+6}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}=\frac{4x_1x_2+6}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\frac{4\left(m-1\right)+6}{m^2+2}\)

\(A=\frac{4m+2}{m^2+2}=\frac{m^2+4m+4-\left(m^2+2\right)}{m^2+2}=\frac{\left(m+2\right)^2}{m^2+2}-1\ge-1\)

\(A_{min}=-1\) khi \(m=-2\)