Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

 Quỳnh Anh Shuy

Dùng biểu thức liên hợp:

a)\(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}=2x-4\). f)\(3\sqrt{x+1}+3\sqrt{x-1}=4x+1\).

b)\(\sqrt{2x^2-3x+10}+\sqrt{2x^2-5x+4}=x+3\).

c)\(\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}=x^2-6x+9\).

d)\(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}=\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}.\)

e)\(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-3}=\sqrt{2x^2-x-2}-\sqrt{2x^2+1}\)

Akai Haruma
17 tháng 7 2018 lúc 23:50

a) ĐK: \(x\geq \frac{1}{2}\)

Ta có: \(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}=2x-4\)

\(\Leftrightarrow \frac{(2x-1)-(x+1)}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}=2(x-2)\)

\(\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}=2(x-2)\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left(\frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}-2\right)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-2=0\leftrightarrow x=2\\ \frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}=2(*)\end{matrix}\right.\)

Đối với $(*)$:

\(x\geq \frac{1}{2}\Rightarrow \sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}\geq \sqrt{\frac{1}{2}+1}>1\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}< 1\)

Do đó $(*)$ vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=2$

Bình luận (0)
Akai Haruma
18 tháng 7 2018 lúc 0:12

b) ĐK:.....

\(\sqrt{2x^2-3x+10}+\sqrt{2x^2-5x+4}=x+3\)

TH1:

\(\sqrt{2x^2-3x+10}=\sqrt{2x^2-5x+4}\)

\(\Rightarrow 2x^2-3x+10=2x^2-5x+4\)

\(\Rightarrow 2x+6=0\Rightarrow x=-3\) (thử lại thấy không thỏa mãn)

TH2: \(\sqrt{2x^2-3x+10}\neq \sqrt{2x^2-5x+4}\), tức là \(x\neq -3\)

PT ban đầu tương đương với:

\(\frac{(2x^2-3x+10)-(2x^2-5x+4)}{\sqrt{2x^2-3x+10}-\sqrt{2x^2-5x+4}}=x+3\)

\(\Leftrightarrow \frac{2(x+3)}{\sqrt{2x^2-3x+10}-\sqrt{2x^2-5x+4}}=x+3\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{2x^2-3x+10}-\sqrt{2x^2-5x+4}}=1\) (do \(x\neq -3\) )

\(\Rightarrow \sqrt{2x^2-3x+10}-\sqrt{2x^2-5x+4}=2\)

\(\Rightarrow \sqrt{2x^2-3x+10}=2+\sqrt{2x^2-5x+4}\)

Bình phương 2 vế:

\(2x^2-3x+10=4+2x^2-5x+4+4\sqrt{2x^2-5x+4}\)

\(\Leftrightarrow x+1=2\sqrt{2x^2-5x+4}\)

\(\Rightarrow (x+1)^2=4(2x^2-5x+4)\)

\(\Rightarrow 7x^2-22x+15=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=\frac{15}{7}\\ x=1\end{matrix}\right.\) (thử đều thấy t/m)

Vậy...........

 

 

 

Bình luận (0)
Akai Haruma
18 tháng 7 2018 lúc 13:43

c) ĐK: \(-2\leq x\leq 3\)

Ta có: \(\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}=x^2-6x+9\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}-2)-(\sqrt{3-x}-1)=x^2-6x+8\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+2-4}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{(3-x)-1}{\sqrt{3-x}+1}=(x-2)(x-4)\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left[\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-(x-4)\right]=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-2=0\rightarrow x=2\\ \frac{1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}=x-4(*)\end{matrix}\right.\)

Đối với $(*)$. Ta thấy vế trái luôn lớn hơn $0$, vế phải nhỏ hơn $0$ do $x\leq 3$ nên $(*)$ vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=2$

Bình luận (0)
Akai Haruma
18 tháng 7 2018 lúc 15:52

d) ĐK: \(x\geq 1\)

Ta có:

\(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}=\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=\frac{5}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x+3}}\)

\(\Rightarrow \sqrt{x+8}+\sqrt{x+3}=5\sqrt{x-1}+5\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow 5\sqrt{x-1}+(\sqrt{9x}-\sqrt{x+8})+(\sqrt{4x}-\sqrt{x+3})=0\)

\(\Leftrightarrow 5\sqrt{x-1}+\frac{8(x-1)}{\sqrt{9x}+\sqrt{x+8}}+\frac{3(x-1)}{\sqrt{4x}+\sqrt{x+3}}=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x-1}(5+\frac{8\sqrt{x-1}}{\sqrt{9x}+\sqrt{x+8}}+\frac{3\sqrt{x-1}}{\sqrt{4x}+\sqrt{x+3}})=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc luôn lớn hơn $0$ với mọi $x\geq 1$

Do đó $\sqrt{x-1}=0$ suy ra $x=1$

Bình luận (0)
Akai Haruma
18 tháng 7 2018 lúc 15:59

e)

\(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-3}=\sqrt{2x^2-x-2}-\sqrt{2x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2+x-(x^2-3)}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-3}}=\frac{(2x^2-x-2)-(2x^2+1)}{\sqrt{2x^2-2}+\sqrt{2x^2+1}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+3}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-3}}=\frac{-(x+3)}{\sqrt{2x^2-2}+\sqrt{2x^2+1}}\)

\(\Rightarrow (x+3)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-3}}+\frac{1}{\sqrt{2x^2-x-2}+\sqrt{2x^2+1}}\right)=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc lớn luôn lớn hơn $0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.

Do đó \(x+3=0\Leftrightarrow x=-3\)

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy.......

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Hye Kyo Song
Xem chi tiết
Anh Quynh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Yến
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Nam
Xem chi tiết
Phạm Thị Thùy Dương
Xem chi tiết