Violympic toán 8

Bí Ẩn Nhân Tố

Dùng bất đẳng thức Schwarz chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

Luân Đào
2 tháng 1 2019 lúc 21:41

\(VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(=\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ca+bc}\ge\left(Schwarz\right)\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Mà theo Cô-si ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) (hằng đẳng thức)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Bình luận (1)
Nguyễn Thành Trương
20 tháng 3 2019 lúc 14:21

Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
=> a = (y + z - x) / 2 ; b = (x + z - y) / 2 ; c = (x + y - z) / 2
=> P = a/b+c + b/c+a + c/a+b = (y + z - x) / 2x + (x + z - y) / 2y + (x + y - z) / 2z
= 1/2. (y/x + z/x - 1 + x/y + z/y - 1 + x/z + y/z - 1) = 1/2. (x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y - 3)

Áp dụng BĐT A/B + B/A ≥ 0 hoặc Cô-si cũng được
=> P ≥ 1/2. (2 + 2 + 2 - 3) = 3/2 (đpcm)

Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> b+c = c+a = a+b <=> a = b = c

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết
lan hương
Xem chi tiết
Hoàng Thị Mai Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thanh Nhàn
Xem chi tiết
Min
Xem chi tiết
Tranh Diệp Phi
Xem chi tiết
Online Math
Xem chi tiết
Phạm Mỹ Dung
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết