Question

Định m để các bất phương trình sau vô nghiệm

\(\left(m-2\right)x^2+2\left(m+1\right)x+2m>0\)

Answer 1

TH1: m=2

BPT sẽ là 6x+4>0

hay x>-2/3(loại)

TH2: m<>2

\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\cdot2m\cdot\left(m-2\right)\)

\(=4m^2+8m+4-8m^2+8m=-4m^2+16m+4\)

\(=-4\left(m^2-4m-1\right)\)

\(=-4\left(m^2-4m+4-5\right)\)

\(=-4\left(m-2\right)^2+20\)

Để bất phương trình vô nghiệm thì \(\left\{{}\begin{matrix}-4\left(m-2\right)^2+20< =0\\m-2< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)^2>=5\\m< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in(-\infty;-\sqrt{5}+2]\cup[\sqrt{5}+2;+\infty)\\m< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m\in(-\infty;-\sqrt{5}+2]\)