A là giao điểm AB và AM nên tọa độ là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+7=0\\x+y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(1;4\right)\)
B là giao điểm AB và BN nên tọa độ là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+7=0\\2x+y-11=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(3;5\right)\)
Gọi G là trọng tâm tam giác. G là giao điểm 2 trung tuyến AM và BN nên tọa độ là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-5=0\\2x+y-11=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(6;-1\right)\)
Theo công thức trọng tâm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3x_G\\y_A+y_B+y_C=3y_G\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+3+x_C=18\\4+5+y_C=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(14;-12\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(13;-16\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(11;-17\right)\end{matrix}\right.\)
Đường thẳng AC nhận (16;13) là 1 vtpt có pt:
\(16\left(x-1\right)+13\left(y-4\right)=0\)
Đường thẳng BC nhận (17;11) là 1 vtpt có pt:
\(17\left(x-3\right)+11\left(y-5\right)=0\)
Bạn tự rút gọn nhé
Dạng này là dạng cơ bản: đưa về pt \(sina=sinb\) (hoặc \(cosa=cosb\) ....)
Bằng cách sử dụng các công thức lượng giác:
\(sina=cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\) hoặc ngược lại
\(sina=-cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\)
\(tana=cot\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\) hoặc ngược lại
\(cosa=-cos\left(\pi-a\right)\) hoặc ngược lại
\(-sina=sin\left(-a\right)\) hoặc ngược lại
Cụ thể:
a.
\(\Leftrightarrow cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=-sin\left(5x+\frac{5\pi}{6}\right)\)
(Bây giờ cần biến vế phải về cos để áp dụng pt cơ bản
Trước hết cần làm mất dấu trừ đằng trước bằng cách sử dụng công thức \(sina=-cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\) hay \(-sina=cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\)
Do đó pt tương đương)
\(\Leftrightarrow cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=cos\left(5x+\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=cos\left(5x+\frac{2\pi}{3}\right)\)
Đến đây thì nó là 1 pt lượng giác quen thuộc rồi:
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x+\frac{2\pi}{3}=2x+\frac{\pi}{3}+k2\pi\\5x+\frac{2\pi}{3}=-2x-\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\) (để x hệ số to hơn bên vế trái cho dễ biến đổi)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{9}+\frac{k2\pi}{3}\\x=-\frac{\pi}{7}+\frac{k2\pi}{7}\end{matrix}\right.\)
Chắc mình đổi nhầm đó
Cứ đúng quy tắc là được thôi
\(sin\left(5x+\frac{5\pi}{6}\right)=-cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\)
\(sin\left(5x+\frac{5\pi}{6}\right)=sin\left(2x+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow sin\left(5x+\frac{5\pi}{6}\right)=sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)\)
Gọi Q và H lần lượt là 2 điểm đối xứng N qua AB và AC
\(\Rightarrow QM=MN;QA=AN;NP=PH;AN=AH\)
\(\Rightarrow QA=AH\)
Ta cũng có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{QAB}=\widehat{NAB}\\\widehat{HAC}=\widehat{NAC}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\widehat{QAH}=\widehat{QAB}+\widehat{NAB}+\widehat{HAC}+\widehat{NAC}=2\left(\widehat{NAB}+\widehat{NAC}\right)=2\widehat{A}\)
\(T=MN+NP+MP=QM+MP+PH\ge QH\)
\(\Rightarrow T_{min}\) khi \(QH_{min}\)
Áp dụng định lý hàm cos:
\(QH=\sqrt{AQ^2+AH^2-2AQ.AH.cos\widehat{QAH}}\)
\(=\sqrt{AN^2+AN^2-2AN^2.cos\left(2\widehat{A}\right)}=AN\sqrt{2-2cos\left(2\widehat{A}\right)}\)
Do \(\sqrt{2-2cos\left(2\widehat{A}\right)}\) cố định (góc A cố định) nên \(QH_{min}\) khi \(AN_{min}\)
\(\Rightarrow AN\) là đường cao hạ từ A xuống BC
Khi đó M, P tương ứng cũng là các chân đường cao
Vậy biểu thức min khi M, N, P là chân đường cao
Google "bài toán chia kẹo Euler"
Một bài toán tổ hợp rất điển hình
