ĐKXĐ: \(x\ne\left\lbrace0;\pm5;\frac52\right\rbrace\)
\(D=\left(\frac{x}{x^2-25}-\frac{x-5}{x^2+5x}\right):\frac{2x-5}{x^2+5x}+\frac{x+3}{5-x}\)
\(=\left(\frac{x}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}-\frac{x-5}{x\left(x+5\right)}\right):\frac{2x-5}{x\left(x+5\right)}+\frac{x+3}{5-x}\)
\(=\left(\frac{x^2}{x\left(x-5\right)\left(x+5\right)}-\frac{\left(x-5\right)^2}{x\left(x-5\right)\left(x+5\right)}\right):\frac{2x-5}{x\left(x+5\right)}+\frac{x+3}{5-x}\)
\(=\frac{10x-25}{x\left(x-5\right)\left(x+5\right)}:\frac{2x-5}{x\left(x+5\right)}+\frac{x+3}{5-x}\)
\(=\frac{5\left(2x-5\right)}{x\left(x+5\right)\left(x-5\right)}\cdot\frac{x\left(x+5\right)}{\left(2x-5\right)}-\frac{x+3}{x-5}\)
\(=\frac{5}{x-5}-\frac{x+3}{x-5}=\frac{2-x}{x-5}\)
Để tìm điều kiện xác định của biểu thức \(D\) và rút gọn \(D\), chúng ta sẽ đi qua từng bước chi tiết.
Biểu thức \(D\):\(D = \frac{x^{2} - 25}{x - 5} : \left(\right. x^{2} + 5 x \left.\right) + \frac{5 - x}{x + 3}\)
Bước 1: Điều kiện xác định của biểu thức \(D\)Để \(D\) xác định, các mẫu số trong biểu thức phải khác 0. Ta cần xem xét các mẫu số trong các phân thức.
Phân thức \(\frac{x^{2} - 25}{x - 5}\): Mẫu số là \(x - 5\), nên điều kiện là:\(x \neq 5.\)Phân thức \(\frac{5 - x}{x + 3}\): Mẫu số là \(x + 3\), nên điều kiện là:
\(x \neq - 3.\)
Ngoài ra, khi chia \(\frac{x^{2} - 25}{x - 5}\) cho \(x^{2} + 5 x\), điều kiện là mẫu số \(x^{2} + 5 x\) phải khác 0. Giải phương trình \(x^{2} + 5 x = 0\):
\(x \left(\right. x + 5 \left.\right) = 0.\)
Ta có hai nghiệm:
\(x = 0 \text{ho}ặ\text{c} x = - 5.\)
Điều kiện xác định của \(D\):Vậy, điều kiện xác định của \(D\) là:
\(x \neq 5 , x \neq - 3 , x \neq 0 , x \neq - 5.\)
Bước 2: Rút gọn biểu thức \(D\)Biểu thức \(D\) có dạng:
\(D = \frac{x^{2} - 25}{\left(\right. x - 5 \left.\right) \left(\right. x^{2} + 5 x \left.\right)} + \frac{5 - x}{x + 3} .\)
Rút gọn \(\frac{x^{2} - 25}{\left(\right. x - 5 \left.\right) \left(\right. x^{2} + 5 x \left.\right)}\):\(\frac{x^{2} - 25}{\left(\right. x - 5 \left.\right) \left(\right. x^{2} + 5 x \left.\right)} = \frac{\left(\right. x - 5 \left.\right) \left(\right. x + 5 \left.\right)}{\left(\right. x - 5 \left.\right) \left(\right. x \left(\right. x + 5 \left.\right) \left.\right)} .\)
\(= \frac{x + 5}{x \left(\right. x + 5 \left.\right)} .\)
\(= \frac{1}{x} .\)Ta có \(x^{2} - 25 = \left(\right. x - 5 \left.\right) \left(\right. x + 5 \left.\right)\), do đó:Cắt bỏ \(x - 5\) (với điều kiện \(x \neq 5\)):Tiếp tục rút gọn \(x + 5\) (với điều kiện \(x \neq - 5\)):Biểu thức còn lại:
\(D = \frac{1}{x} + \frac{5 - x}{x + 3} .\)Bước 3: Tính tổng
Để cộng hai phân thức này, ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung của \(x\) và \(x + 3\) là \(x \left(\right. x + 3 \left.\right)\). Ta sẽ viết lại các phân thức với mẫu số chung này:
\(\frac{1}{x} = \frac{x + 3}{x \left(\right. x + 3 \left.\right)} ,\)\(\frac{5 - x}{x + 3} = \frac{\left(\right. 5 - x \left.\right) x}{x \left(\right. x + 3 \left.\right)} .\)
Vậy, \(D\) có dạng:
\(D = \frac{x + 3}{x \left(\right. x + 3 \left.\right)} + \frac{\left(\right. 5 - x \left.\right) x}{x \left(\right. x + 3 \left.\right)} .\)
Cộng hai phân thức:
\(D = \frac{\left(\right. x + 3 \left.\right) + \left(\right. 5 - x \left.\right) x}{x \left(\right. x + 3 \left.\right)} .\)
Tiến hành tính toán tử số:
\(\left(\right. x + 3 \left.\right) + \left(\right. 5 - x \left.\right) x = x + 3 + 5 x - x^{2} = - x^{2} + 6 x + 3.\)
Vậy, biểu thức cuối cùng của \(D\) là:
\(D = \frac{- x^{2} + 6 x + 3}{x \left(\right. x + 3 \left.\right)} .\)
Kết luận:Điều kiện xác định của \(D\) là:\(x \neq 5 , x \neq - 3 , x \neq 0 , x \neq - 5.\)Biểu thức rút gọn của \(D\) là:
\(D = \frac{- x^{2} + 6 x + 3}{x \left(\right. x + 3 \left.\right)} .\)
a: ĐKXĐ: x∉{0;5;-5}
b: \(D=\left(\frac{x}{x^2-25}-\frac{x-5}{x^2+5x}\right):\frac{2x-5}{x^2+5x}+\frac{x+3}{5-x}\)
\(=\left(\frac{x}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}-\frac{x-5}{x\left(x+5\right)}\right)\cdot\frac{x\left(x+5\right)}{2x-5}-\frac{x+3}{x-5}\)
\(=\frac{x^2-\left(x-5\right)^2}{x\left(x-5\right)\left(x+5\right)}\cdot\frac{x\left(x+5\right)}{2x-5}-\frac{x+3}{x-5}\)
\(=\frac{x^2-x^2+10x-25}{\left(x-5\right)\left(2x-5\right)}-\frac{x+3}{x-5}=\frac{10x-25}{\left(x-5\right)\left(2x-5\right)}-\frac{x+3}{x-5}\)
\(=\frac{5\left(2x-5\right)}{\left(x-5\right)\left(2x-5\right)}-\frac{x+3}{x-5}=\frac{5}{x-5}-\frac{x+3}{x-5}=\frac{5-x-3}{x-5}=\frac{2-x}{x-5}\)
