Question

Có bao nhiêu số nguyên m để \(m+sin\left(m+sin3x\right)=sin\left(3sinx\right)+4sin^3x\) có nghiệm thực

Answer 1

\(\Leftrightarrow m+sin\left(m+sin3x\right)=sin\left(3sinx\right)+3sinx-sin3x\)

\(\Leftrightarrow m+sin3x+sin\left(m+sin3x\right)=sin\left(3sinx\right)+3sinx\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t+sint\Rightarrow f'\left(t\right)=1+cost\ge0\) \(\forall t\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên R

\(\Rightarrow f\left(m+sin3x\right)=f\left(3sinx\right)\Leftrightarrow m+sin3x=3sinx\)

\(\Leftrightarrow3sinx-sin3x=m\)

\(\Leftrightarrow4sin^3x=m\)

Mà \(-1\le sin^3x\le1\Rightarrow-4\le m\le4\)

Có 9 giá trị nguyên của m