Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Cindy Phương

CMR:

a. \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\left(a,b>0\right)\)

b. \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) với a,b,c là 3 cạnh của tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó

Hai Binh
6 tháng 4 2017 lúc 10:41

a. Xét hiệu: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}\)

=\(\dfrac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

Vì a,b>0

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a=b

Bình luận (0)
Nguyễn Quang Định
6 tháng 4 2017 lúc 15:57

a) Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\left(1\right)\forall a,b\)

( Dấu = xày ra khi và chỉ khi a=b)

Cộng 4ab vào 2 vế, ta có:

\(\left(a-b\right)^2+4ab\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

Chia 2 vế cho ab(a+b)>0, ta có:

\(\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\)\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

b) Ta có:

\(2p=a+b+c\)

\(p-a=\dfrac{a+b+c}{2}-a=\dfrac{b+c-a}{2}>0\) vì b+c>a

Tương tự: \(p-b>0,p-c>0\)

Áp dụng BĐT: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)cho từng cặp số p-a, p-b; p-b,p-c;p-c,p-a

Ta có:

\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{\left(p-a\right)+\left(p-b\right)}=\dfrac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\dfrac{4}{c}\left(1\right)\)

Tương tự:

\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{a}\left(2\right)\)

\(\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-a}\ge\dfrac{4}{b}\left(3\right)\)

Cộng các BĐT cùng chiều (1), (2), (3) vế theo vế, ta có:

\(2\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

Do đó: \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Đạt Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
An Nguyễn Thiện
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Văn Quyết
Xem chi tiết
guard
Xem chi tiết
guard
Xem chi tiết
guard
Xem chi tiết
Lưu Phương Thảo
Xem chi tiết