Sửa đề : CMR : với mọi số a , b ta luôn có : \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
Giả sử điều cần c/m là đúng
Ta có : \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) ( điều này luôn đúng )
\(\Rightarrow\) Điều giả sử là đúng
\(\Rightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\left(đpcm\right)\)
\(2a^2+2b^2+2>2ab+2a+2b\) ( Nhân cả 2 vế với 2)
\(2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\forall a,b\)
\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
Xét \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-2ab+b^2\ge0\\a^2-2a+1\ge0\\b^2-2b+1\ge0\end{matrix}\right.=>\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\left(1\right)\\a^2+1\ge2a\left(2\right)\\b^2+1\ge2b\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1), (2),(3) suy ra : \(a^2+b^2+a^2+1+b^2+1\ge2ab+2a+2b\)
\(2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
Nên \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)(đpcm)
