Question

Cmr với mọi n thì n⁵ _ n cchia, hết cho. 5

Answer 1

Bổ sung đề : với mọi n nguyên

=> nếu n là số thập phân (or phân số ) thì n⁵ - n không chia hết cho 5 , ví dụ , n=0,1 => n⁵ - n = 0,00001 - 0,1 = - 0,09999 \(⋮̸\) 5 => đề bài ngay lập tức vô lí

================================

Ta có : \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2-4\right)+5\right]\)= \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)= \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 5

5(n-1)n(n+1) luôn chia hết cho 5 , \(\forall n\in Z\)

Vậy n⁵ - n \(⋮5,\forall n\in Z\)