Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 = 1 (mod8) => 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4
Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra n + 1 = 1 (mod8) => n chia hết cho 8
Lại có (n + 1) (2n + 1) = 3n + 2
Ta thấy 3n + 2 = 2 (mod3)
Suy ra (n + 1) (2n + 1) = 2 (mod3)
Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên n + 1 = 2n + 1 = 1 (mod3)
Do đó n chia hết cho 3
đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\\3n+1=b^2\end{matrix}\right.\)(\(a,b\in Z\))
\(\Rightarrow a^2+b^2=5n+2\equiv2\left(mod5\right)\)
số chính phương chia 5 chỉ có thể dư 0;1;4 nên \(a^2\equiv1\left(mod5\right);b^2\equiv1\left(mod5\right)\)\(\Rightarrow2n+1\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow n⋮5\)(1)
giờ cần chứng minh \(n⋮8\)
từ cách đặt ta cũng suy ra \(n=b^2-a^2\)
vì số chính phương lẻ chia 8 dư 1 mà 2n+1 lẻ \(\Rightarrow a^2\equiv1\left(mod8\right)\)hay \(2n\equiv0\left(mod8\right)\)\(\Rightarrow n⋮4\) nên n chẵn \(\Rightarrow b^2=3n+1\)cũng là số chính phương lẻ \(\Rightarrow b^2\equiv1\left(mod8\right)\)
do đó \(b^2-a^2\equiv0\left(mod8\right)\)hay \(n⋮8\)(2)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow n⋮40\)(vì gcd(5;8)=1)
Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 = 1 (mod8) => 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4
Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra n + 1 = 1 (mod8) => n chia hết cho 8
Lại có (n + 1) (2n + 1) = 3n + 2
Ta thấy 3n + 2 = 2 (mod3)
Suy ra (n + 1) (2n + 1) = 2 (mod3)
Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên n + 1 = 2n + 1 = 1 (mod3)
Do đó n chia hết cho 3
Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 = 1 (mod8) => 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4
Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra n + 1 = 1 (mod8) => n chia hết cho 8
Lại có (n + 1) (2n + 1) = 3n + 2
Ta thấy 3n + 2 = 2 (mod3)
Suy ra (n + 1) (2n + 1) = 2 (mod3)
Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên n + 1 = 2n + 1 = 1 (mod3)
Do đó n chia hết cho 3
=>n chia hết cho 24
