\(A=\frac{n\left(n+1\right)}{2};B=2n+1\\ \)
gọi d là ước lớn nhất của A và B
ta có
\(8A-B^2=4n^2+4n-\left(4n^2+4n+1\right)=1\)
Vậy \(d=+-1\) => A,B có ước lớn nhất là 1 =>dpcm
Gọi d bất kì,d\(\in UCLN\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2},2n+1\right)\)(d\(\inℕ^∗\))
\(\Rightarrow\)\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}⋮d;2n+1⋮d\)
Ta có:\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}⋮d\Rightarrow2\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)⋮d\Rightarrow n\left(n+1\right)⋮d\Rightarrow n^2+n⋮d\Rightarrow2\left(n^2+n\right)⋮d\Rightarrow2n^2+2n⋮d\)
Mà\(2n+1⋮d\Rightarrow\left(2n^2+2n\right)-\left(2n+1\right)⋮d\Rightarrow2n^2-1⋮d\)
Ta có:\(2n+1⋮d\)mà \(n\inℕ\)
\(\Rightarrow n\left(2n+1\right)⋮d\Rightarrow2n^2+n⋮d\)mà\(2n^2-1⋮d\Rightarrow\left(2n^2+n\right)-\left(2n^2-1\right)⋮d\Rightarrow n+1⋮d\)
\(\Rightarrow2\left(n+1\right)⋮d\Rightarrow2n+2⋮d\)mà\(2n+1⋮d\Rightarrow\left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\in U\left(1\right)\)
\(\Rightarrow d=1\Rightarrow UCLN\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2},2n+1\right)=1\Rightarrow\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)và 2n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau.
