Vì \(a_1,a_2,...,a_n\) là các chữ số của \(2019^{2018}⋮3\)
\(\Rightarrow a_1+a_2+...+a_n⋮3\) (1)
Lại có \(a_j^3-a_j=a_j\left(a_j+1\right)\left(a_j-1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow a_1^3-a_1+a_2^3-a_2+...+a_n^3-a_n⋮3\)
\(\Rightarrow\left(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3\right)-\left(a_1+a_2+...+a_n\right)⋮3\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3⋮3\) ( đpcm )
Cho \(a_1,a_2,..,a_n\) là các số nguyên dương và n>1.
Đặt \(A=a_1a_2...a_n,\) \(A_i=\dfrac{A}{a_i}\left(i=\overline{1,n}\right)\). CM các đẳng thức sau:
a) \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=A\)
b) \(\left[a_1,a_2,..,a_n\right]\left(A_1,A_2,...,A_n\right)=A\)
Chứng minh rằng với mọi số dương \(a_1,a_2,...,a_n\) ta luôn có :
\(a_1^{\dfrac{1}{2}}+a^{\dfrac{2}{3}}_2+...+a_n^{\dfrac{n}{n+1}}\le a_1+a_2+...+a_n+\sqrt{\dfrac{2\left(\pi^2-3\right)}{9}\left(a_1+a_2+...+a_n\right)}\)
Cho \(a_1;a_2;...a_n\ge0\) và \(a_1.a_2.a_3...a_n=1\)
CMR : \(\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)+...+\left(1+a_n\right)\ge2\)
cho dãy số:
\(a_1=1,a_2=1+\dfrac{1}{3},...,a_n=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2n-1}\)
cmr:\(\dfrac{1}{a_1^2}+\dfrac{1}{3a_2^2}+...+\dfrac{1}{\left(2n-1\right)a_n^2}< 2\)
cho dãy số :\(a_1=1,a_2=1+\dfrac{1}{3},.....,a_n=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2n-1}\)
cmr:
\(\dfrac{1}{a_1^2}+\dfrac{1}{3a_2^2}+...+\dfrac{1}{\left(2n-1\right)a_n^2}< 2\)
Chứng minh rằng: \(\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+...+\frac{a_n}{b_n}\ge n\left(\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{b_1+b_2+b_3+...+b_n}\right)\)
Với \(a_1,a_2...,a_n;b_1,b_2...,b_n>0\)
Cho \(A_n=\dfrac{1}{\left(2n+1\right)\sqrt{2n-1}},\forall n\in N\text{*}\)
CMR: \(A_1+A_2+...+A_n< 1\)
Chm bđt:
\(\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2\le n\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)\)
Chm bđt:
\(\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2\le n\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)\)
