Chứng minh n.(n +1).(n + 2) chia hết cho 3
TH1: n chia hết cho 3
=> n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3
TH2: n chia 3 dư 1
=> (n + 2) chia hết cho 3
=> n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3
TH3: n chia 3 dư 2
=> (n +1) chia hết cho 3
=> n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3
Vì n.(n+1).(n+2) là tích 3 số liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\) (1)
Vì n.(n+1) là tích 2 số liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2\(\Rightarrow n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2\) (2)
Từ (1) và (2),vì UCLN(2,3)=1 nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)
đem chia số tự nhiên n cho 3 xảy ra 3 trường hợp về số dư : dư 0 ; dư 1 ; dư 2
- Nếu n chia cho 3 dư 0 => n chia hết cho 3 => n ( n + 1 ) ( n + 2 ) chia hết cho 3
- Nếu n chia 3 dư 1 => n = 3k + 1 ( k e N* )
khi đó n + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3 ( k + 1 )
=> n ( n + 1 ) ( n + 2 ) chia hết cho 3
- Nếu n chia 3 dư 2 => n = 3k + 2 ( k e N* )
khi đó n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3 ( k + 1 )
=> n ( n + 1 ) ( n + 2 ) chia hết cho 3
do đó với mọi n e N thì n ( n + 1 ) ( n + 2 ) chia hết cho 3 ( 1 )
ta có n ( n + 1 ) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp , trong 2 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chăn chia hết cho 2
=> n ( n + 1 ) chia hết cho 2 ( 2 )
mà 2 ; 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau ( 3 )
từ ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) => n ( n + 1 ) ( n + 2 ) chia hết cho 6
học vui ^^
