Đặt A = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰
Số số hạng của A:
100 - 1 + 1 = 100 (số hạng)
Do 100 ⋮ 2 nên ta nhóm các số hạng của A thành từng nhóm mà mỗi nhóm có 2 số hạng như sau:
A = (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)
= 2.(1 + 2) + 2³.(1 + 2) + ... + 2⁹⁹.(1 + 2)
= 2.3 + 2³.3 + ... + 2⁹⁹.3
= 3.(2 + 2³ + ... + 2⁹⁹) ⋮ 3
Vậy A ⋮ 3
Ta có: A = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰
Tổng A có 100 số hạng. Ta nhóm mỗi cặp 2 số hạng liền kề với nhau, ta được 50 cặp:
A = (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)
Ta đặt thừa số chung ra ngoài mỗi dấu ngoặc:
A = 2¹(1 + 2) + 2³(1 + 2) + ... + 2⁹⁹(1 + 2)
A = 2¹ . 3 + 2³ . 3 + ... + 2⁹⁹ . 3
Đến đây, ta xét tổng A:
Số hạng thứ nhất là 2¹ . 3. Tích này có chứa thừa số 3 nên 2¹ . 3 chia hết cho 3.Số hạng thứ hai là 2³ . 3. Tích này có chứa thừa số 3 nên 2³ . 3 chia hết cho 3....Số hạng cuối cùng là 2⁹⁹ . 3. Tích này có chứa thừa số 3 nên 2⁹⁹ . 3 chia hết cho 3.Như vậy, tất cả các số hạng của tổng A đều chia hết cho 3.
Áp dụng tính chất chia hết của một tổng: "Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng đó sẽ chia hết cho số đó".
Vì vậy, A chia hết cho 3.
Kết luận: Vậy tổng 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ chia hết cho 3.
