Ta chứng minh \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)
Với n = 1, đẳng thức trên là đúng.
Giả sử đẳng thức trên là đúng với n = k, tức là ta có:
\(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là:
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\) (*)
Ta có \(1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
Vậy nên \(VT=\left(1+2+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{k^4+6k^3+13k^2+12k+4}{4}=\frac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\)
\(=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2=VP\)
Vậy ta có đẳng thức \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)
Từ đó \(1^3+2^3+...+503^3=\left(1+2+...+503\right)^2\)
\(=\left[\frac{\left(1+503\right).503}{2}\right]^2=126756^2\)
Ta thấy ngay nó không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 1275.
