Question

chứng minh rằng : \(x^3+y^3+z^3\ge\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^3+(\dfrac{y+z}{2})^3+\left(\dfrac{z+x}{2}\right)^3\)

Answer 1

Giả sử bài toán đã có đầu đủ giả thuyết cần thiết rồi. (Thiếu giả thuyết nhá bác).

\(x^3+y^3+z^3\ge\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^3+\left(\dfrac{y+z}{2}\right)^3+\left(\dfrac{z+x}{2}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow6\left(x^3+y^3+z^3\right)-3\left(xy^2+xz^3+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2\right)\ge0\)

Ta có bổ đề:

\(x^3+x^3+y^3\ge3yx^2\)

Thế vô thì bài toán được chứng minh.

Answer 2

1 cách giải khác:

\(bdt\Leftrightarrow8\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(x+z\right)^3\)

\(\Leftrightarrow8\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)+xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow6\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+3\left(y+z\right)\left(y^2-yz+z^2\right)+3\left(x+z\right)\left(x^2-xz+z^2\right)\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2+3\left(y+z\right)\left(y-z\right)^2+3\left(x+z\right)\left(x-z\right)^2=0\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z\)