Question

chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>= 1 thì

1/3^2+1/5^2+1/7^2+...+1/(2n+1)^2<1/4

 

Answer 1

đặt \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+....+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}\)

\(A< \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{\left(2n-1\right).\left(2n+1\right)}\)

\(A< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\)

\(A< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\)

vì n lớn hơn hoặc bằng 1 => 2n+1 lớn hơn hoặc bằng 3

\(A< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\)

=> \(A< \frac{1}{4}\)(đpcm)

ps:tuy nhiên ko thuyết phục lắm nhưng cái đề hơi sai đoạn n >= 1 ấy :((

nếu n=1 => 2n+1=3 => 1/3^2+...+1/3^2???