Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
tep.

Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 thì \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)

Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 7 2022 lúc 21:41

Em chứng minh BĐT phụ này:

\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\ge\dfrac{2a-b}{2}\) (quy đồng rút gọn tương đương với \(b\left(a-b\right)^2\ge0\))

Làm tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng vế

hnamyuh
13 tháng 7 2022 lúc 21:43

Với mọi a,b,c > 0. Ta có : 

\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=\dfrac{a\left(a^2+b^2-b^2\right)}{a^2+b^2}=a-\dfrac{ab}{a^2+b^2}b\ge a-\dfrac{\dfrac{a^2+b^2}{2}}{a^2+b^2}b=a-\dfrac{b}{2}\)

Tương tự, ta có :

\(\dfrac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\dfrac{c}{2}\)

\(\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\dfrac{a}{2}\)

Suy ra : 

\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge a-\dfrac{b}{2}+b-\dfrac{c}{2}+c-\dfrac{c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Vinne
Xem chi tiết
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
Trương Quỳnh Hoa
Xem chi tiết
ILoveMath
Xem chi tiết
đấng ys
Xem chi tiết
_little rays of sunshine...
Xem chi tiết
Khiêm Nguyễn Gia
Xem chi tiết
⭐Hannie⭐
Xem chi tiết
Hoàng Anh Thắng
Xem chi tiết