Question

Chứng minh rằng số có dạng  \(2^{2^n}-1\) chia hết 5(\(n\varepsilonℕ;n>1\))

Answer 1

ta có \(2^n\equiv0\left(mod4\right)\)với \(\left(n\in N;n>1\right)\)

Đặt \(2^n=4k\left(k\in Z^+;k\ge1\right)\)

\(\Rightarrow2^{2^n}-1=2^{4k}-1=\left(2^k\right)^4-1\)

Theo định lý fermat nhỏ ta có :

\(\left(2^k\right)^4=\left(2^k\right)^{5-1}\equiv1\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow\left(2^k\right)^4-1\equiv0\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow Q.E.D\)