Question

Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thỏa mãn các bấc đẳng thức sau:\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\ge\frac{b^2}{b+a}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\)

Thì \(|a|=|b|=|c|\)

Answer 1

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}-\frac{b^2}{b+a}-\frac{c^2}{b+c}-\frac{a^2}{c+a}\)

\(=\left(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{b+a}\right)+\left(\frac{b^2}{b+c}-\frac{c^2}{b+c}\right)+\left(\frac{c^2}{c+a}-\frac{a^2}{c+a}\right)\)

\(=a-b+b-c+c-a=0\)

Từ đây ta suy ra được

\(\hept{\begin{cases}\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\le\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\\\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\ge\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\end{cases}}\)

Dấu = xảy ra khi \(|a|=|b|=|c|\)

Answer 2

Cảm ơn bạn đã trả lời câu hỏi giúp mình