Question

Chứng minh rằng : nếu a , b , c khác 0 thỏa mãn :

\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+bc}{4}\) thì \(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\)

Answer 1

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau; ta được:

\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+bc}{4}=\frac{ab+ac+bc+ba-\left(ca+bc\right)}{2+3-4}=\frac{2ab}{1}\)

Tương tự; ta được: \(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+bc}{4}=\frac{bc+ba+ca+bc-\left(ab+ac\right)}{3+4-2}=\frac{2bc}{5}\)

\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{ab+ac-\left(bc+ba\right)+ca+cb}{2-3+4}=\frac{2ac}{3}\)

Từ các điều trên; ta được:

\(\frac{2ac}{3}=\frac{2ab}{1}=\frac{2bc}{5}\)

\(\Rightarrow\frac{10ac}{15}=\frac{30ab}{15}=\frac{6bc}{15}\)

\(\Rightarrow10ac=30ab=6bc\)

\(\Rightarrow10ac=30ab\Rightarrow b=\frac{c}{3}\Rightarrow\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\left(1\right)\)

\(30ab=6bc\Rightarrow5a=c\Rightarrow a=\frac{c}{5}\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{c}{15}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\left(ĐPCM\right)\)

Answer 2

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+bc}{4}=\frac{ab+ac+bc+ba-\left(ca+bc\right)}{2+3-4}=\frac{2ab}{1}\)