Đặt \(A=n^5-5n^3+4n\)
Ta có: \(A=n^5-5n^3+4n\)
\(=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)
\(=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)\)
\(=n\left[n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-1\right)\right]\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\)
Vì A là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên A⋮5
Vì n,n-1 và n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\)
\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)⋮3\)
\(\Leftrightarrow A⋮3\)
Vì trong 5 số tự nhiên liên tiếp, chắc chắn có ít nhất 2 số chẵn liên tiếp. Và trong 2 số chẵn liên tiếp, chắc chắn có một số chia hết cho 4 nên tích của 2 số chẵn này chia hết cho 8
hay \(A⋮8\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}A⋮3\\A⋮5\\A⋮8\end{matrix}\right.\)
và (3;5;8)=1
nên \(A⋮3\cdot5\cdot8=120\)(đpcm)
