Ta cần chứng minh n = 2004^4 + 2004^3 + 2004^2 - 2004 không phải là số chính phương.
Đặt x = 2004. Khi đó
n = x^4 + x^3 + x^2 - x
Nhóm hạng tử:
n = x^4 + x^3 + x^2 - x
= x^4 + x^3 + x^2 - x
= (x^4 + x^3) + (x^2 - x)
= x^3(x + 1) + x(x - 1)
Ta thử phân tích tiếp:
n = x^4 + x^3 + x^2 - x
= x^2(x^2 + x + 1) - x(x - 1)
= x^2(x^2 + x + 1) - x^2 + x
= x^2(x^2 + x + 1 - 1) + x
= x^2(x^2 + x) + x
= x^3(x + 1) + x
= x[(x^3 + 1)]
= x(x + 1)(x^2 - x + 1)
Với x = 2004, ta có
n = 2004 × 2005 × (2004^2 - 2004 + 1)
= 2004 × 2005 × (4016016 - 2004 + 1)
= 2004 × 2005 × 4014013
Vì 2004, 2005 là hai số nguyên liên tiếp nên chúng không thể cùng là số chính phương, và do tích này chứa hai số nguyên liên tiếp nên không thể là bình phương của một số nguyên.
Do đó n không phải là số chính phương
