Chứng minh định lí sau "Hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân " qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD (AB song song vớiCD) có Ab bằng BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng :
a) Tam giác BDE là tan giác cân
b) Tam giác ACD bằng tam giác BDC
c) Hình thang ABCD là hình thang cân
a) Hình thang ABEC ( AB // CE ) có hai cạnh bên AC, BE song song nên chúng bằng nhau: AC = BE (1)
Theo giả thiết AC = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = BD do đó \(\Delta BDE\)cân
b) Do AC // BE nên \(\widehat{E}=\widehat{C_1}\left(3\right)\)
Mà tam giác BDE cân tại B ( câu a ) nên \(\widehat{E}=\widehat{D_1}\left(4\right)\)
Từ (3)(4) => \(\widehat{D_1}=\widehat{C_1}\)
* Xét 2 tam giác : ACD và BDC có :
DC chung
AC = BD ( gt )
\(\widehat{C_1}=\widehat{D_1}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ACD=\Delta BDC\left(c-g-c\right)\)
c) Theo ( c/m câu b ) ta có :
\(\Delta ACD=\Delta BDC\)
nên \(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\)( 2 góc tương ứng )
Vậy hình thang ABCD có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
