Question

Chứng minh bất đẳng thức sau:

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\times\left(x+y+z\right)\)

Answer 1

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

Answer 2

cảm ơn bạn nhiều

Answer 3

Ta có : \(x^2+1\ge2x\) (1)

\(y^2+1\ge2y\) (2)

\(z^2+1\ge2z\) (3)

Cộng các vế của  (1) (2) (3) ta được :

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Answer 4

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

<=> \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)

BĐT trên hiển nhiên đúng với ọi x;y;z

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1