Question

Chứng minh \(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+x+1}< \frac{1}{3}\)

Answer 1

Ta có 1/A =  rồi lấy tử chia mẫu sau đó áp dụng cosi là ra. Mà phải là <= 1/3 mới đúng nha

Answer 2

Chuyển vế, quy đồng

Sẽ ra 1 phân thức tử < 0, mẫu>0

Answer 3

Đk: \(x\ge0\)

\(A-\frac{1}{3}=\frac{3\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{3\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\frac{-\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{3\left(x+\sqrt{x}+1\right)}< 0\Rightarrow A< \frac{1}{3}\)

Answer 4

Điều kiện xác định:\(x\ge0\)

Chứng minh \(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+x+1}\le\frac{1}{3}\)nghĩa là phải chứng minh \(\frac{1}{A}=\frac{\sqrt{x}+x+1}{\sqrt{x}}\ge3\)

Ta có:\(\frac{1}{A}=1+\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Co-sy:

\(\frac{1}{A}=1+\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge1+2=3\)\(\Rightarrow A\le\frac{1}{3}\)