Question

Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+\)\(bc\) . Dấu "=" xảy ra khi nào?

Answer 1

Nhân cả 2 vế với 2
Xét hiệu
  2(a²+b²+c² )-2(ab+ac+bc)
=2a²+2b²+2c² -2ab -2ac -2bc
=a²-2ab+b²+b²-2bc+b²+c²-2ac+a²
=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²  luôn luôn lớn hợn hoặc =0
nên a²+b²+c² lớn hơn hoặc bằng ab-ac-bc dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Answer 2

Nhân cả 2 vế với 2
Xét hiệu
  2(a²+b²+c² )-2(ab+ac+bc)
=2a²+2b²+2c² -2ab -2ac -2bc
=a²-2ab+b²+b²-2bc+b²+c²-2ac+a²
=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²  luôn luôn lớn hợn hoặc =0
nên a²+b²+c² lớn hơn hoặc bằng ab-ac-bc dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Answer 3

Nhân cả 2 vế cho 2 ta có

2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac>=0

<=>(a+b)2+(a+c)2+b+c)2>=0 (lđ)

Dấu = xảy ra khi a=b=c