Question

Cho\(x+y+z=1\)

\(CMR:x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)

Answer 1

Có (a-b)^2 >=0

<=> a^2 + b^2 >= 2ab (1) ( với mọi a,b)

Tương tự có b^2 + c^2 >= 2bc(2)

                    c^2 + a^2 >= 2ca(3)

Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3) ta có : 2.(a^2+b^2+c^2)>= 2.(ab+bc+ca)

<=> 2.(a^2+b^2+c^2) +a^2+b^2+c^2 >= a^2+b^2+c^2+2.(ab+bc+ca)

<=>3.(a^2+b^2+c^2)>= (a+b+c)^2

<=> a^2+b^2+c^2 >= (a+b+c)^2/3

Áp dụng bđt trên thì x^2+y^2+z^2 >= (x+y+z)^2/3 = 1/3 => ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1/3