Question

Cho2 số dương a, b thỏa mãn: a+b = 1. CMR: \(a^3+b^3\ge\frac{1}{4}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM choc các số dương:

\(a^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)

\(b^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64}}=\frac{3b}{4}\)

Cộng theo vế và rút gọn: \(\Rightarrow a^3+b^3+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{4}(a+b)=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\geq \frac{1}{4}\)

(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$