Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

DỊ Bình

Cho \(x,y,z\ge0,x+y+z=1\). Chứng minh:

\(P=\dfrac{1+x^2}{1+y^2}+\dfrac{1+y^2}{1+z^2}+\dfrac{1+z^2}{1+x^2}\le\dfrac{7}{2}\)

Neet
12 tháng 1 2019 lúc 22:56

Qui đồng lên ta có: (cần chứng minh)

\(2\sum\left(x^2+1\right)^2\left(z^2+1\right)\le7\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2\sum\left(x^4z^2+x^4+2x^2z^2+2x^2+z^2+1\right)\le7\left(x^2y^2z^2+\sum x^2+\sum x^2y^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2\sum x^4+2\sum x^4z^2\le7x^2y^2z^2+3\sum x^2z^2+\sum x^2+1\)

Hay \(\left(\sum x^2+x+y+z-2\sum x^4\right)+7x^2y^2z^2+3\sum x^2z^2-2\sum x^4z^2\ge0\)

hay \(\sum x^2\left(1-x^2\right)+\sum x\left(1-x^3\right)+7x^2y^2z^2+\sum x^2z^2+2\sum x^2z^2\left(1-x^2\right)\ge0\)

(luôn đúng do x, y, z\(\in\left[0;1\right]\))

Vậy ta có đpcm. Dấu = xảy ra khi 2 số bằng 0, 1 số bằng 1.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Ryan Park
Xem chi tiết
vung nguyen thi
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Phạm Thúy Vy
Xem chi tiết
vvvvvvvv
Xem chi tiết
Hà Nam Phan Đình
Xem chi tiết
Legolas
Xem chi tiết
Khánh Ngọc
Xem chi tiết
LA.Lousia
Xem chi tiết