Question

Cho x,y,z lớn hơn > 0 thỏa mãn x+y+z=1, chứng minh:    \(x+2y+z\ge4.\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)

 

Answer 1

BĐT đã cho <=> 1 + y \(\ge\) 4.(1 - x).(1 - y).(1 - z)

Áp dụng BĐT :  4ab \(\le\) (a + b)² ta có: 4.(1 - x)(1 - z) \(\le\) (1 - x + 1 - z)² = (1 + y)²

=> 4.(1 - x)(1 - y)(1 - z) \(\le\) (1 + y)².(1 - y) = (1 + y).(1 -y²) \(\le\) (1 + y) .1 = 1+ y => đpcm

Dấu "=" xảy ra khi 1 - y² = 1 và x = z => y = 0 ; x = z = 1/2