Question

Cho \(x;y\in R\), thỏa mãn  \(x^2+y^2=1\). Tìm GTLN của: \(\frac{x}{y+\sqrt{2}}\)

Answer 1

$P^2=\frac{x^2}{y^2+2\sqrt{2}+2}=\frac{1-y^2}{y^2+2\sqrt{2}y+2}$

<=>$P^2.y^2+2\sqrt{2}P^2y+2P^2=1-y^2$

<=>$(P^2+1).y^2+2\sqrt{2}P^2y+2P^2-1=0$

để tồn tại y thì $\Delta\geq0<=>-2P^4+P^2+1\geq0<=>(P^2-1).(2P^2+1)\leq 0$

<=>$P^2-1\leq 0<=>-1\leq P \leq 1$

suy ra GTLN của P  là 1, thay P vào pt trên ta tìm được $y=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

suy ra $y+\sqrt{2} >0$ nên để P đạt max thì x phải dương ( do mẫu dương để P max thì tử phải dương)

mà $x^2=1-y^2=\frac{1}{2}$ suy ra $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$