Question

Cho \(x,y\) là hai số không âm thỏa mãn điều kiện  \(x^3+y^3=2\). Chứng minh rằng  \(x^2+y^2\le2\).

Answer 1

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)

\(\Rightarrow4\left(x+y\right)^2\ge\left(x^2+y^2\right)^4\)  \(\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM: 

\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) \(\Rightarrow8\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^4\)

\(\Rightarrow8\ge\left(x^2+y^2\right)^3\)

\(\Rightarrow2\ge x^2+y^2\)hay \(x^2+y^2\le2\)

Answer 2

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có    

        x^3+x^3+1\ge3\sqrt[3]{x^3.x^3.1}\Leftrightarrow2x^3+1\ge3x^2x3+x3+1≥33x3.x3.1​⇔2x3+1≥3x2, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=1$.

Tương tự,  2y^3+1\ge3y^22y3+1≥3y2. Cộng theo vế hai bất đẳng thức nhận được ta có

             2\left(x^3+y^3\right)+2\ge3\left(x^2+y^2\right)2(x3+y3)+2≥3(x2+y2)

Sử dụng giả thiết  x^3+y^3=2x3+y3=2 suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi      $x=y=$

Answer 3

x=y=1