Question

cho x,y là các số thực sao cho \(x+\dfrac{1}{y}\)và \(y+\dfrac{1}{x}\)là các số nguyên.

CMR: \(x^2\cdot y^2+\dfrac{1}{x^2\cdot y^2}\)là số nguyên

Answer 1

Lời giải:

\(x+\frac{1}{y};y+\frac{1}{x}\in\mathbb{Z}\Rightarrow \left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow xy+\frac{1}{xy}+2\in\mathbb{Z}\Rightarrow xy+\frac{1}{xy}\in\mathbb{Z}\)

Ta có:

\(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2-2\) có \(xy+\frac{1}{xy}\in\mathbb{Z}\) và \(2\in\mathbb{Z}\) nên \(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\in\mathbb{Z}\)

Ta có đpcm.