Dự đoán xảy ra cực trị tại y = 2 và x = 1
Ta biến đổi nhưng sau: \(P=\left(8x^3+8+8\right)+\left(y^3+8+8\right)-32\)
\(\ge3\sqrt[3]{8x^3.8.8}+3\sqrt[3]{y^3.8.8}-32\)
\(=24x+12y-32=12\left(2x+y-\frac{8}{3}\right)\)
\(=12\left(6-\frac{8}{3}-xy\right)=12\left(\frac{10}{3}-xy\right)\)
\(=12\left(\frac{10}{3}-1x.2y\right)\ge12\left(\frac{10}{3}-\frac{\left(x+1\right)^2}{4}.\frac{\left(y+2\right)^2}{4}\right)\)
\(=12\left(\frac{10}{3}-\frac{\left[\left(x+1\right)\left(y+2\right)\right]^2}{4}\right)\)
\(=12\left(\frac{10}{3}-\frac{xy+2x+y+2}{4}\right)=12\left(\frac{10}{3}-\frac{6+2}{4}\right)=16\)
Vậy P min = 16 khi x = 1;y=2
Ta có 2x+y+xy=6
\(\Leftrightarrow\)2x+xy+y+2=6+2
\(\Leftrightarrow\)x(y+2)+y+2=8
\(\Leftrightarrow\)(y+2)(x+1)=8
\(\Rightarrow\)(x+1),(y+2)\(\in\)Ư(8)={1;2;4;8;-1;-2;-4;-8}
\(\Rightarrow\)Ta có bẳng sau:
| x+1 | 1 | 2 | 4 | 8 | -1 | -2 | -4 | -8 | ||||
| y+2 | 8 | 4 | 2 | 1 | -8 | -4 | -2 | -1 |
\(\Rightarrow\)
| x | 0 | 1 | 3 | 7 | -2 | -3 | -5 | -9 |
| y | 6 | 2 | 0 | -1 | -10 | -6 | -4 | -3 |
Vì x,y nguyên dương\(\Rightarrow\)(x,y)={(0;6),(1;2),(3;0)}
(thay lần lượt các cặp nghiệm nguyên vào biểu thức \(P=8x^3+y^3\))
