Question

Cho xy =1 và x > y 

Chứng minh rằng :

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)

Answer 1

Ta có : \(x>y\Rightarrow x-y>0\)

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)

Áp dụng BĐT Cô - si ta được :

\(x-y+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)

Chúc bạn học tốt !!!

Answer 2

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}\)

\(=x-y+\frac{2xy}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2xy}{x-y}}\)(BĐT Cauchy)

\(=2\sqrt{2}\)(Vì xy  =1)