Ta có : \(\frac{x}{4y^2+1}=x-\frac{4xy^2}{4y^2+1};\frac{y}{4x^2+1}=y-\frac{4x^2y}{4x^2+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
\(4y^2+1\ge4y;4x^2+1\ge4x\)
\(\Rightarrow x-\frac{4xy^2}{4y^2+1}+y-\frac{4x^2y}{4x^2+1}\ge x-\frac{4xy^2}{4y}+y-\frac{4x^2y}{4x}\)
\(=x+y-2xy=2xy\)
Đến đây ta áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(x+y=4xy\Leftrightarrow\frac{1}{xy}=\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}\le4\Leftrightarrow2xy\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{4y^2+1}+\frac{y}{4x^2+1}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\4y^2=1\\4x^2=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)
Bạn trên đã chứng minh \(xy\ge\frac{1}{4}\) rồi nên mình xin phép không trình bày
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta dễ có:
\(LHS=\frac{x^2}{4xy^2+x}+\frac{y^2}{4x^2y+y}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)}\)
Ta cần đi chứng minh:
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge x+y\Leftrightarrow x+y\ge1\)
Điều này là hiển nhiên vì theo AM - GM ta có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}=1\)
Vậy ta có đpcm
