Ta có: \(x\sqrt{1-y^2}=1-y\sqrt{1-x^2}\)(ĐK: \(-1\le x;y\le1\))
\(\Leftrightarrow x^2\left(1-y^2\right)=1+y^2\left(1-x^2\right)-2y\sqrt{1-x^2}\)
\(\Leftrightarrow x^2=1+y^2-2y\sqrt{1-x^2}\)
\(\Leftrightarrow y^2+1-x^2-2y\sqrt{1-x^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-\sqrt{1-x^2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)(đpcm)
(*) cách khác: Áp dụng BĐT bunyakovsky:
\(M^2=\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(2-x^2-x^2\right)\)
đặt \(x^2+y^2=k\left(k>0\right)\)thì ta luôn có \(k\left(2-k\right)\le1\)
bởi nó tương đương \(\left(k-1\right)^2\ge0\).
hay \(M\le1\).Mà M=1 nên chỉ xảy ra dấu = khi k=1 hay \(a^2+b^2=1\)
Ta có: x√1−y2=1−y√1−x2x1−y2=1−y1−x2(ĐK: −1≤x;y≤1−1≤x;y≤1)
⇔x2(1−y2)=1+y2(1−x2)−2y√1−x2⇔x2(1−y2)=1+y2(1−x2)−2y1−x2
⇔x2=1+y2−2y√1−x2⇔x2=1+y2−2y1−x2
⇔y2+1−x2−2y√1−x2=0⇔y2+1−x2−2y1−x2=0
⇔(y−√1−x2)2=0⇔(y−1−x2)2=0
⇔y=√1−x2⇔x2+y2=1⇔y=1−x2⇔x2+y2=1(đpcm)
(*) cách khác: Áp dụng BĐT bunyakovsky:
M2=(x√1−y2+y√1−x2)2≤(x2+y2)(2−x2−x2)M2=(x1−y2+y1−x2)2≤(x2+y2)(2−x2−x2)
đặt x2+y2=k(k>0)x2+y2=k(k>0)thì ta luôn có k(2−k)≤1k(2−k)≤1
bởi nó tương đương (k−1)2≥0(k−1)2≥0.
hay M≤1M≤1.Mà M=1 nên chỉ xảy ra dấu = khi k=1 hay a2+b2=1
